Vettori
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[modifica] Qualche nozione sui vettori
Il concetto di vettore coinvolge le scienze applicate, come la matematica, la fisica. Etimologicamente il termine vettore sta ad indicare "chi trasporta".
Ebbene tale significato viene ripreso anche in matematica, poichè il vettore "porta" da un punto A ad un punto B. Il calcolo vettoriale viene introdotto inizialmente da G.Galilei per essere poi ripreso ed ampliato da W. R. Hamilton e da H. Grassmann.
[modifica] Definizione
Si definisce vettore una classe di segmenti orientati equipollenti. Un vettore è un ente geometrico caratterizzato da tre elementi:
- direzione, che è la direzione della retta AB alla quale il vettore appartiene;
- verso, che viene individuato sulla retta dal segmento orientato;
- modulo, detto anche norma, è la misura della lunghezza del segmento AB rispetto ad una unità di misura prestabilita.
[modifica] Addizione di vettori
Dati due vettori qualsiasi u e v rappresentati da 
e 
applicati in un punto O, si definisce somma di tali vettori il vettore applicato in O avente direzione , verso e modulo della diagonale del parallelogramma determinato da u e v.
Il modulo della somma è compreso fra la differenza in valore assoluto dei moduli dei vettori e la somma dei moduli.
L'addizione dei vettori in un piano è una legge di composizione commutativa ed associativa, ammette l'elemento neutro, e ogni vettore ha il simmetrico. Infatti è possibile affermare che tale operazione gode di alcune proprietà:
- Proprietà commutativa, poiché è vera l'uguaglianza u+v=v+u;
- Proprietà associativa, in quanto è vera l'uguaglianza (u+v)+t=u+(v+t);
- Esistenza dell'elemento neutro, poiché esiste l'elemento nullo Immagine:vet3.png avente modulo 0 e direzione e verso non definiti.
- Simmetrico di un vettore, dato che ad ogni vettore v si può associare il vettore opposto indicato con -v. Esso ha la stessa direzione, lo stesso modulo di v, ma verso opposto.
[modifica] Moltiplicazione tra un vettore ed un numero reale
Dati un vettore v ed n numero reale k, si definisce prodotto di v*k il vettore avente:
- come direzione la direzione di v;
- come verso quello di v se k>0, altrimenti verso opposto se k<0;
- come modulo il prodotto del modulo v per il valore assoluto di k.
Anche la moltiplicazione gode di determinate proprietà:
- Proprietà distributiva, ossia è possibile affermare che, dati due vettori qualunque u e v ed un numero reale k si ha: k (u+v) = ku + kv
- Proprietà distributiva, cioé, dati un vettore v e due numeri reale k,q si ha: (k+q)* v = kv + qv; ma anche, k(qv) = (kq)*v; ed infine, assegnato il vettore v, ed essendo l l'elemento neutro della moltiplicazione, si ha: l*v = v.
[modifica] Significato algebrico
È possibile dare una definizione più ampia di vettore ricorrendo all'algebra lineare. Questa definizione tornerà molto utile anche quando considereremo i vettori nei maggiori linguaggi di programmazione.
Un vettore, alla luce di ciò, è una generica n-pla di numeri reali:
ovvero un insieme ordinato di n numeri reali. Questa definizione di vettore include qualsiasi altra definizione, compresa quella fisico-geometrica di vettore come segmento orientato. Infatti lo spazio geometrico a 2 o 3 dimensioni può essere visto come uno spazio vettoriale con le sue rispettive coordinate spaziali, ed è possibile definire in tal modo un vettore nel piano o nello spazio in funzione delle sue dimensioni. Ad esempio
identifica un vettore unitario nel piano cartesiano (ascissa nulla e ordinata=1).
identifica invece un vettore nello spazio cartesiano tridimensionale, con rispettiva ascissa, ordinata e quota.
Con questa nuova definizione diventa estremamente intuitivo sommare fra di loro vettori (a patto che abbino la stessa dimensione), in quanto la somma fra due vettori è un vettore avente come componenti le rispettive somme dei componenti. Formalmente:
Esempio:
Allo stesso modo la differenza fra due vettori si definisce come la somma di un vettore per il secondo vettore con le componenti cambiate di segno.
[modifica] Modulo di un vettore
Il concetto di modulo vettoriale diventa estremamente intuitivo tenendo presente sia il suo significato algebrico che quello geometrico. Prendiamo un vettore v=(1,2). Nel piano cartesiano è qualcosa di questo tipo:
1 e 2 identificano le coordinate del vettore. Il modulo identifica quanto è grande il vettore. Per avere questa informazione, guardando il grafico sopra, basta applicare il teorema di Pitagora:
Più in generale, il modulo di un vettore a n componenti è dato da Immagine:vet11.png
[modifica] Prodotto scalare di due vettori
Il prodotto scalare fra due vettori con lo stesso numero di componenti è un numero reale definito in modo estremamente intuitivo usando la definizione algebrica:
Esempio:
[modifica] Coseno dell'angolo fra due vettori
È possibile tramite la definizione algebrica fornire una definizione anche per il coseno dell'angolo compreso fra due vettori (e di conseguenza, note le proprietà trigonometriche, anche per il seno e qualsiasi altro operatore goniometrico):
