Sistemi lineari

Da Hacknowledge.

Un quadripolo lineare, come quelli di interesse nell'ambito delle telecomunicazioni, è un sistema così costruito:

ovvero un quadripolo elettrico, caratterizzato da un certo sistema di equazioni, al cui ingresso viene applicato un segnale x(t) e in uscita fornisce un segnale y(t) = Q[x(t)]. Il quadripolo Q si dice lineare e tempo-invariante se valgono le seguenti proprietà:

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Consideriamo il caso in cui all'ingresso è presente un segnale sinusoidale:

Si dimostra che se il quadripolo è lineare l'uscita y(t) sarà anch'esso un segnale sinusoidale, con la stessa pulsazione dell'ingresso x(t) e diversa ampiezza e fase:

Tuttavia, se il quadripolo lineare Q ha una funzione di trasferimento

con

che rappresenta la caratteristica di ampiezza del sistema e

che rappresenta la sua caratteristica di fase, allora il segnale di uscita è semplicemente esprimibile come

ovvero, nota la funzione di trasferimento del sistema, è possibile esprimere il segnale in uscita per un qualsiasi segnale di ingresso x(t).

La funzione di trasferimento, che non è altro che la trasformata di Fourier della risposta impulsiva della rete, è ricavabile attraverso i metodi già esaminati nella voce sulle trasformate di Laplace, per s=jω.

Sempre per le proprietà di linearità, esprimendo l'ingresso x(t) in funzione del suo spettro di ampiezza e di fase

anche l'uscita y(t) è esprimibile come

[modifica] Risposta impulsiva di una rete lineare

È inoltre utile esprimere la risposta impulsiva di una rete lineare. La risposta impulsiva è la risposta della rete quando in ingresso è fornito un impulso di Dirac δ(t), ovvero un segnale con durata tendente a zero (impulso) e intensità tendente a infinito. Quando all'ingresso viene fornito un impulso, in uscita troveremo un segnale h(t) che definiamo come risposta impulsiva della rete.

È intuibile che, per le proprietà dell'impulso di Dirac, un qualsiasi segnale in ingresso può essere espresso come convoluzione fra se stesso e l'impulso di Dirac:

La cosa è immediatamente verificata, dato che l'impulso di Dirac ha trasformata di Fourier pari a 1, e quindi passando in ambito trasformato l'uguaglianza di sopra si tradurrebbe nell'identità X(ω)=X(ω).

Il segnale in uscita è invece esprimibile come convoluzione fra il segnale di ingresso e la risposta impulsiva:

Passando qui in ambito trasformato invece si ha una cosa davvero interessante:

H(ω) è la funzione di trasferimento del quadripolo lineare che abbiamo visto prima. Da ciò torniamo quindi alla definizione stessa di funzione di trasferimento:

da cui ricaviamo che la risposta impulsiva della rete non è altro che l'antitrasformata di Fourier della funzione di trasferimento.