Segnali periodici e aperiodici tempo-continui

Da Hacknowledge.

Un qualsiasi segnale elettrico, presente ad esempio all'ingresso del ricevitore o all'uscita della sorgente della trasmissione, è rappresentabile attraverso una funzione del tempo x(t). In base alle proprietà di continuità o discretezza delle funzioni del tempo, possiamo classificare i segnali elettrici in 4 categorie principali:

• segnali tempo-continui e continui nei valori, ovvero segnali definiti su un certo intervallo e che assumono tutti i valori compresi in quell'intervallo
• segnali tempo-continui e discreti nei valori, ad esempio segnali digitali, che assumono tutti i valori in un certo intervallo ma i cui valori considerati di fatto appartengono ad un insieme finito
• segnali tempo-discreti e continui nei valori, ad esempio il campionamento di un segnale tempo-continuo, che consiste nella lettura dei valori del segnale a intervalli costanti
• segnali tempo-discreti e discreti nei valori, ad esempio segnali digitali considerati solo in certi valori

[modifica] Funzioni periodiche tempo continue

Una funzione tempo continua x(t) si definisce periodica di periodo T se

ovvero il valore calcolato in un generico istante t è uguale al valore calcolato all'istante t+T. È possibile rappresentare una tale funzione nel seguente modo (serie di Fourier in forma esponenziale):

ovvero una successione di termini, dove j è l'unità immaginaria (vedi numeri complessi), n è il termine della sommatoria e

è la pulsazione fondamentale. cn è il coefficiente di Fourier n-esimo della successione, ed è così definito:

Tale artificio è necessario per apprezzare il segnale x(t) in funzione del suo periodo e della sua pulsazione fondamentale. Inoltre, nota l'espressione del coefficiente di Fourier al variare di n, è possibile ricavare sia lo spettro di ampiezza An che lo spettro di fase ϕn del segnale, ovvero le informazioni sull'ampiezza e la fase del segnale in corrispondenza dei multipli della pulsazione fondamentale:

[modifica] Funzioni aperiodiche tempo continue

Nel caso di segnali x(t) non necessariamente periodici, lo strumento che ci viene in aiuto per l'analisi frequenziale del segnale è la trasformata di Fourier. La trasformata di un segnale x(t) è così definita:

e consente di esprimere la funzione x(t) nel dominio delle frequenze e non più nel dominio dei tempi.

Viceversa, la formula di antitrasformazione, per passare dall'espressione del segnale nel dominio frequenziale a quella nel dominio temporale, diventa

Si noti una similitudine fra le trasformate di Fourier e le già note trasformate di Laplace. È infatti evidente che la trasformata di Fourier di una funzione x(t) è uguale alla sua trasformata di Laplace calcolata per s=jω. Per tutte le proprietà delle trasformate di Fourier, esempi pratici e trattazione teorica rimango quindi alla voce sulle trasformate di Laplace, tenendo presente la relazione appena citata.

La trasformata di Fourier di un segnale ci fornisce moltissime informazioni frequenziali sul segnale. Possiamo ad esempio ricavare il suo spettro di ampiezza e spettro di fase, rispettivamente come

Lo spettro di ampiezza del segnale consente di introdurre il concetto di banda del segnale. Se ad esempio V(ω) è maggiore di una certa soglia solo per ω1<ω<ω2, allora la banda passante del segnale è definita fra ω1 e ω2. È quindi possibile introdurre anche il concetto di segnale passa-banda. Se un segnale è centrato su una pulsazione ω0 e risulta Bω/ω0 << 1, con Bω larghezza di banda del segnale, allora il segnale e la sua banda passante sono sufficientemente distanti dalla pulsazione nulla, e il segnale è di tipo passa banda. Allo stesso modo è possibile definire segnali passa-basso e passa-alto.

[modifica] Energia di un segnale

La potenza p di un segnale x(t) è così definita:

Da quest'espressione è possibile ovviamente ricavare l'energia del segnale attraverso la relazione già nota dalla fisica:

Si dimostra che un segnale ammette trasformata di Fourier se e soltanto se è a energia finita, ovvero l'integrale sopra esposto non diverge a infinito. Per questo tipo di funzioni, l'energia si può anche esprimere come

uguaglianza che esprime il teorema di Parseval.