Processi stocastici, stazionari ed ergodici

Da Hacknowledge.

[modifica] Processi stocastici

Nel ramo dell'elettronica e delle telecomunicazioni non sempre si ha a che fare con segnali deterministici noti sperimentalmente. In molti casi può tornare utile effettuare rilevazioni statistiche su processi che in ogni istante possono dar luogo a segnali che assumono valori casuali nel tempo, in modo da sapere come gestire questi processi nel tempo. Può essere utile ad esempio effettuare rilevazioni statistiche su una comunicazione binaria fra due computer, per vedere quali byte ricorrono più spesso. O ancora, effettuare rilevazioni statistiche sul rumore in un circuito. Se infatti abbiamo un circuito non alimentato e poniamo un voltmetro ai suoi morsetti, noteremo che in uscita non misureremo, come prevedibile, una tensione nulla, ma una tensione che pur essendo prossima allo zero varia in modo casuale. Questo è il rumore presente in un circuito, e dovuto alle caratteristiche fisiche dei suoi componenti (resistenze, condensatori, transistor...). Effettuare rilevazioni statistiche sul rumore in un circuito ci permette di capire meglio la natura stessa del circuito, e il modo in cui distorcerà, per le sue caratteristiche fisiche, un segnale in ingresso.

Alla luce di ciò, definiamo funzione aleatoria (o processo stocastico) una funzione x(t) di cui non è noto a priori l'andamento. Il suo comportamento diventa manifesto solo all'atto della misurazione, e prima è possibile solo effettuare supposizioni statistiche. [modifica] Descrizione statistica di un processo stocastico tempo-continuo continuo nei valori

Supponiamo di avere un processo stocastico x(t) di cui siamo in possesso di N misurazioni. Il valore assunto dalla funzione nel generico istante t1, x1(t1), è ovviamente casuale, e ha una densità di probabilità pari a

p1=p1(x1,t1)

detta densità di probabilità del primo ordine (misurabile sperimentalmente su un alto numero di osservazioni). Definita in modo differenziale, ovvero come

p1=p1(x1,t1)dx1

è definita come la probabilità che in un generico istante t1 il processo assuma un valore nell'intorno di x1. Integrando, definiamo invece

come la probabilità che in un generico istante t1 il processo assuma un valore compreso fra x1 e x1+Δx.

Ovviamente, essendo il processo aleatorio avremo anche

ovvero la probabilità che nell'istante t1 il processo assuma un qualsiasi valore reale è, ovviamente, pari al 100%.

Dato un campione N molto vasto di osservazioni su un processo stocastico, si noti che vale l'approssimazione

Per descrivere il comportamento di un processo tuttavia la densità di probabilità di primo ordine (probabilità che in un certo istante la funzione assuma un certo valore) non è sufficiente. È necessario quindi introdurre densità di probabilità di ordine superiore al primo. Definiamo allora

p2=p2(x1, t1; x2, t2)

come la densità di probabilità di secondo ordine. Definita in modo differenziale,

p2(x1, t1; x2, t2) dx1 x2

essa esprime la probabilità che nell'istante t1 il segnale assuma un valore nell'intorno di x1, e contemporaneamente nell'istante t2 assuma un valore nell'intorno di x2 (probabilità composta). Questa probabilità diventa condizionata se la probabilità che accada il secondo evento è correlata a quella che accada il primo e viceversa. In tal caso, per la definizione di probabilità composta,

p2(x1, t1; x2, t2) = p1(x1, t1) p(x2, t2 | x1, t1)

ovvero la probabilità composta dei due eventi è pari al prodotto della probabilità di primo ordine del primo evento per la probabilità condizionata che accada il secondo evento sapendo che è accaduto il primo. Nel caso in cui le due probabilità dovessero essere indipendenti e quindi non condizionate, la probabilità di secondo ordine sarebbe semplicemente pari al prodotto delle due probabilità di primo ordine:

p2(x1, t1; x2, t2) = p1(x1, t1) p1(x2, t2)

Lo stesso discorso vale per qualsiasi densità di probabilità di ordine superiore.

[modifica] Medie statistiche e temporali

Dato un processo aleatorio x(t), è possibile definire su esso due tipi di medie:

• Medie statistiche
• Medie temporali

Le prime sono effettuabili a priori sul processo, nota almeno una densità di probabilità, mentre le seconde sono effettuabili a posteriori, dopo la misurazione, noto l'andamento della funzione.

La media statistica di x(t) è il valor medio della variabile aleatoria x(t) definita all'istante di osservazione t:

mentre la corrispondente media temporale è definita come

[modifica] Processi stazionari ed ergodici

Il nostro obiettivo è quello di trovare un'uguaglianza fra i due tipi di medie (statistiche e temporali), ovvero trovare una famiglia di processi aleatori per cui sia possibile effettuare statistiche sul comportamento del processo prima dell'osservazione, note semplicemente le densità di probabilità.

Definiamo quindi la famiglia dei processi stazionari. Un processo si dice stazionario quando la generica densità di probabilità di ordine n, pn, è indipendente dagli istanti di osservazione t, ovvero una traslazione rigida degli istanti di osservazione non modifica la descrizione statistica del processo. In tali condizioni quindi si modifica anche la definizione di media statistica del processo, non più dipendente da t:

Definiamo ora un processo a memoria finita, come un processo stazionario per cui esiste un valore τm tale che, se si è osservato il comportamento del processo fino all'istante t, non è possibile effettuare alcuna previsione statistica che tenga conto di tale conoscenza per istanti successivi a t+τm. τm è anche detto durata della memoria.

Ora, un processo che sia stazionario e a memoria finita è definito come processo ergodico. In particolare, in un processo ergodico ogni rilevazione campione è caratteristica con probabilità 1 dell'intero processo, ovvero il risultato della rilevazione su un generico campione del processo coincide con il risultato della rilevazione su un qualsiasi altro campione dell'insieme. Per i processi ergodici vale una proprietà molto interessante, le medie statistiche e quelle temporali si equivalgono, ovvero una media statistica calcolata a priori nota una densità di probabilità coincide con la corrispondente media temporale del processo una volta che si è manifestato un certo andamento. Questa proprietà è molto interessante, in quanto mi consente di descrivere statisticamente un intero processo aleatorio noto il comportamento di un solo suo campione, ed è per questo che i processi ergodici sono di grande interesse in fisica e in particolare nel campo dell'elettronica e delle telecomunicazioni. Si dimostra infatti che anche il rumore in un circuito non è altro che un processo ergodico, e quindi descritto statisticamente noto il comportamento in un'osservazione.