Campionamento di un segnale
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[modifica] Ripetizione periodica di una funzione
Data una funzione aperiodica x(t) con trasformata di Fourier X(ω), si definisce la sua ripetizione periodica di periodo T una funzione xp(t) così definita:
ovvero come somma di singoli segnali su tutto l'asse temporale, calcolati come traslazioni di lunghezza nT del segnale di partenza x(t). La funzione così definita, in quanto periodica, è rappresentabile in serie di Fourier:
con
Risolvendo l'integrale è possibile giungere alla seguente relazione:
che è una relazione fondamentale per esprimere il legame fra i coefficienti di Fourier di una funzione periodica e la trasformata di Fourier della funzione aperiodica, ovvero un legame fra una funzione aperiodica e la sua ripetizione periodica. Mette anche in evidenza che i coefficienti di Fourier si possono ricavare come campionamenti della trasformata del segnale x(t) con intervalli pari a ω0 a meno di una costante moltiplicativa.
[modifica] Teorema del campionamento nel dominio delle frequenze
Il risultato sopra esposto riveste una grande importanza, in quanto consente di conoscere la ripetizione periodica xp(t) di x(t) noti i campioni X(nω0) di X(ω), ma è fondamentale anche stabilire il suo dominio di validità. Potrebbe infatti verificarsi la sovrapposizione (aliasing) fra termini di x(t) traslati nel tempo che renderebbero tale operazione impossibile, come ad esempio il caso sotto illustrato:
In tal caso la sovrapposizione di diversi termini traslati della ripetizione periodica della funzione rende impossibile la ricostruzione del segnale di partenza noti i suoi campioni. La condizione affinché ciò sia possibile è che il periodo di ripetizione del segnale xp(t) sia maggiore o uguale della durata del segnale x(t) (teorema del campionamento nel dominio delle frequenze).
[modifica] Serie temporali
Una serie temporale è un insieme di valori reali così definiti:
{xn} = { ... x-2 x-1 x0 x1 x2 ... }
Tale successione può aver origine in questa forma (esempio, segnale trasmesso in codice) o ottenuta dal campionamento di un segnale tempo-continuo x(t) a intervalli di tempo costanti. La trasformata di Fourier della serie temporale così considerata è
funzione periodica di periodo
In base a tale proprietà si dimostra che la trasformata della serie temporale è pari a
[modifica] Teorema del campionamento nel dominio dei tempi
Il risultato sopra esposto è estremamente importante in quanto esprime il legame fra la ripetizione periodica della trasformata X(ω) di x(t) con periodo ω0, ovvero esprime la possibilità di risalire al segnale originale noti i suoi valori campionati. Tuttavia è necessario imporre dei vincoli a questo risultato affinché sia vero. Si prenda ad esempio questo caso:
ovvero il caso di una funzione passa basso centrata nell'origine e con frequenze apprezzabili nell'intervallo [-ωm,ωm]. Una ripetizione periodica con periodo ω0 pari a quello considerato provoca un aliasing del segnale, ed è quindi la prova che la conoscenza della ripetizione periodica Xs(ω) di X(ω) generalmente non consente di risalire a X(ω), e quindi al segnale originale x(t). Tuttavia, in una circostanza come la seguente
in cui ogni termina occupa una banda distinta, è possibile risalire al segnale originale nota la sua successione periodica. In particolare, diremo che la condizione affinché sia possibile risalire al segnale originale nota la sua ripetizione periodica diventa
ovvero la frequenza di campionamento deve essere pari almeno al doppio della larghezza di banda del segnale (teorema di campionamento nel dominio dei tempi). Nella realtà dei fatti poi si considerano per il campionamento di un segnale sempre frequenze maggiori del doppio della larghezza di banda, nonostante il teorema ammetta anche l'uguaglianza. Ad esempio, la frequenza di campionamento di un segnale telefonico a 3 kHz è generalmente intorno agli 8 kHz.
Si noti che il teorema del campionamento nel dominio dei tempi è perfettamente duale al teorema del campionamento nel dominio delle frequenze visto nel paragrafo precedente.
